Andrej Žust è nato nel 1984 a Logatec, in Slovenia, dove ha tenuto le sue prime lezioni di corno con Janez Polanc. Ha proseguito poi gli studi all’Accademia di musica di Lubiana. Andrej Žust ha sempre ricevuto apprezzamenti artistici da musicisti di fama come Hermann Baumann, Frøydis Ree Wekre, Viktor Malisch e Radovan Vlatkovič. Mentre era ancora studente ha ricevuto i premi Lucijan-Marija-Škerjanc e Prešeren.
In giovane età è stato vincitore di primi premi in numerosi concorsi nazionali e internazionali tra cui Povoletto (Italia) nel 2001 e il Concorso per giovani musicisti in Slovenia nel 2002. Nel maggio 2004 è stato nominato corno principale dell’Orchestra Filarmonica Slovena di Lubiana. Žust è stato anche membro della Gustav Mahler Youth Orchestra e della Pacific Music Festival Orchestra.
Attivo come camerista, fa parte dell’Ariart Wind Quintet, dell’ensemble dei solisti dell’Orchestra da Camera di Lubiana e del Trio Triumvirat. Dal 2009 al 2011 è stato allievo della Berliner Philharmoniker Orchestra Academy. Dalla stagione 2011/2012 fa parte della sezione dei corni della stessa orchestra.